Аллергия на кота?

Здравствуйте. Ситуация у нас такая. Последние пол года каждое ОРВИ сопровождается долгим кашлем (3-4 недели). Три недели назад у ребенка начался насморк и кашель. Кашель влажный, глубокий, с отхождением мокроты. Температуры нет, горло в норме. Наблюдались у врача все это время, легкие чистые, кашель не проходит. Были у пульмонолога, рекомендовала пропить антибиотики. Пьем четвертый день, улучшений нет. Есть у меня опасения, что кашель аллергический. Но вот на что аллергия? У нас есть кот, но мы его взяли год назад. Не могла же аллергия проявиться через год. Или могла? Пока я на работе, ребенок сидит со свекровью у нее дома, у них животных нет, и он там чувствует себя лучше, но полностью кашель не проходит. Свекровь говорит, что это на кота, чтобы мы его убирали, а я прям вся в сомнениях. Ведь после того, как кашель пролечим, месяц-два не проявляется никаких признаков аллергии. Если бы аллергия была на кота, то наверное она бы проявлялась еще как то? Наверное надо пробы сдать. У кого у деток есть аллергия на кошек, может ли она проявляться только кашлем? Очень боюсь, что все дойдет до астмы(((