Плих и Плюх, у нас в пересказе Хармса, есть , кажется у Усачева

Мартышкино завтра Заходер

Бибигон

Сказка о трамвае Баруздин

Михалков цикл про Дядю Степу

конек горбунок?

Сеф человек в коробке, сказка о кругленьких и длинненьких человечках

у Сапгира встречались

Тапки Коваленковой читали? )

Герасимова - Лисья сказка

Очень много таких историй у Мошковской. Моя самая недавняя любовь - Про козлика и ослика. Отлично читались Театр открывается (в том числе - самостоятельно), Цыпленок шел в Куд-кудаки, Читаю и считаю и прочие истории про кувшины, паровозы и т.п. из сборников с малым количеством иллюстраций.

Еще одна любовь - Шендерович Про один, два, три... Инопланетяне у египтян
Он современный, но достойный наследник Чуковского )))

Хорошо иллюстрирован Самойлов Слоненок пошел учиться от Нигмы. У нас сборник со всеми историями о Слоненке, но мне читать пьесы было трудно, я спекулировала аудиоверсиями.

Как раз на этот возраст не очень известный Маршак.

Введенский - дети очень любили О четырех котятах и четырех ребятах, но иллюстраций маловато.

Горохов До Ре Ми

Вышла из дому старушка

Сапгир "Принцесса и людоед"

Почему исчезли динозавры

Мультик тоже заходит на ура)

Всем на удивление

Белки в переделке (не отечественная, но забавная)

В Ребятишкиной книжке есть такие истории
Еще истории в стихах - Неумейка, Заколдованная девочка, Сказ про муравья и великана, Комар-хвастун, Самокат, Буква Я, Кто я? Колеса, Девочка и лев,
Лисенок, Белочка-умелочка,
Яковлев - Наш Андрейка, Убежало молоко,

Сапгир - Сорванцы
Кушак - Почтовая история, Игра в солдатики (на постарше, ближе к школе)

Токмакова - Вечерняя сказка, у Токмаковой есть эта же сказка и еще парочка - Касьянка. Том и Плут, Сказка про сазанчика с хорошими иллюстрациями В.Дугина. АСТ в своей манере сует их в самые разные сборники, можно попробовать отследить, если не лень )
Александрова - Невидимка, Смешные человечки 
Сказка про ершонка
Зубкова - Аленка, Про обезьян,
В.Инбер - Сороконожки,
А.Введенский - Мяу Это рифмованная проза, но всегда множество раз на разные аудитории читалась на ура!!!!

Махотин - Я сам! - история малышовая, но 5-леткам очень понравилась! Возможно из-за иллюстраций Аринушкина.

Еще современное - Про деда Морозайца
Из переводного хорошо зашла Охота на Фырка, хотя там местами спотыкательно, лучше заранее про себя прочесть, ритм словить. За покупками.

Орлова "Секрет бабочки"

"Жёлтый каяк" Нины Лейден, перевод Яснова, в целом неплохой, но есть один косяк. В тексте "Что ещё будет? Вот и весло Ветром сломало И унесло." А через несколько страниц осьминог возвращает морякам весло, целое, разумеется (в оригинале, специально нашла, ветром не ломает весло, это огрех перевода). Большинство детей, наверное, и не заметят, но мои дотошные замучали вопросами. Иллюстрации классные.

Николай Заболоцкий: Как мыши с котом воевали https://www.labirint.ru/books/509550/

Хит вот уже как 2 года.

Роза Ривера-инженер, Гектор-архитектор

Приключения серого Маламыша (тираж закончился, но может в библиотеке есть)

Сказки о царе Колбаске Маши Рупасовой

У Юрия Кушака много историй в стихах. У нас сборник "Стихи", Нигма.

"Божья коровка", Андрей Усачёв

"Мартышкин дом", Борис Заходер

"Принц и свинтус" (похоже на Дональдсон)

"Пираты", Роб Биддальф

Не знаю советовали или нет ещё, Ах и Ох Гордейчева ( изд-во Облака)

Джайлз Андрэ "Танцующий жираф", перевод Бородицкой (шикарный!) Не знаю, можно ли сейчас купить или уже только в библиотеках искать.

Еще у Маршака. Сказки в стихах. Цикл, где Старуха, дверь закрой

У Юрия Коринца сборники с такими истории. Мне очень нравятся, но могут показаться "советскими".

А вот Самойлов вполне современный и иллюстрации классные.

"Гога и Лучик" Давны Бен Эви, перевод хороший

Посмотрите серия у Энас досуг малыша Большое приключение маленькой белочки, Пингвиненок ищет родителей, Как ёжик Игнат искал клад - там с лабиринтами и все в рисунках, Про Бяку и Буку.

"На земле и а океане". В оригинале это история в картинках, без текста. Но в издании Поляндрии к иллюстрациям добавлено стихотворение, специально сочиненное Ясновым. Стихотворение неплохое, иллюстрации просто отпад!

Вот такую еще предложу Про знакомых, незнакомых

Короткая, но милая история)

-заходер -мартышкино завтра(мартышкин дом)
-сказка о страхе
-про лень (в зимний день один тюлень)

-жили были 2 трамвая
-роман сеф ключ от сказки
-хармс

Юнна Мориц

Белозеров про лесного плакунчика

Кошкин дом Маршака еще вроде не советовали.

Самойлов. Слоненок пошел учиться. От Росмэна. Там пьесы в стихах, но отлично читается.

Зубкова про Ох и Ах

Маламыш!