Была температура несколько дней, а после появился кашель

Нос лечить. Кашель из за носа. Слизь течет по задней стенке, вот и спать не может. Вылечете нос, пройдет и кашель.

Идти к врачу, чтобы он осмотрел ребёнка и в зависимости от кашля назначил препарат

Кашель может быть из-за соплей, стекающих по задней стенке глотки. Такой часто усиливается в положении лёжа. Кашель бывает от проблем в нижних дыхательных путях, как симптом восполнения по ходу лёгких (бронхит, пневмония). Какой именно кашел и почему - это к доктору. Дежурный педиатр в государственной поликлиники сидит и в субботу и в воскресенье и в праздничные дни.