У папы нет прописки!!!

Прописка к данному случаю отношения не имеет. Единственное это то что надо будет написать заявление на признание отцовства и заплатить госпошлину. В ЗАГС вам придется идти обоим с паспортами, если были бы в браке, то может и один родитель обратиться.

Что значит записать на себя? Вписать как отца Загс может после заявления о признании отцовства, прописать у отца - как только будет свидетельствао о рождении.

Насколько я знаю чтобы вписать папу в свидетельство о рождении прописка не нужна, но так как брак гражданский не запишут...