Могут ли уволить за прогул?

сейчас не могут, если вы не выйдете на работу когда ребенку будет 3 года 1 день - тогда да.

а сейчас просто когда появитесь можете написать отпуск до 3 лет задним числом, им придется его предоставить

 Могут ли меня уволить - оформят как прогул и тогда смогут уволить

что здесь можно сделать? - если отношения с кадрами и руководством нормальные - отзвонитесь и предупредите. В противном случае отправляйте завтра телеграмму. И на будущее - нет отпуска по уходу до 1,5 лет, есть до 3-х лет. Не давайте себя вводить в заблуждение.

Предупредите, возьмите больничный на указанную дату. Прогул БЕЗ УВАЖИТЕЛЬНОЙ причины относится к однократному грубому нарушению трудовых обязанностей работника и ДА, увольнение по инициативе работодателя в данном случае возможно. Докажите, что отсутствовали по уважительной причине.

а если по электронке отправить подписанное заявление (с уведомлением о получении письма)? или по факсу?

а где вы взяли отпуск до 1,5 лет? в тк есть отпуск до 3-х лет.  это только пособие выплачивается до 1,5.

Как вариант, пошлите телефонограмму по месту работы 

послать телеграмму, копию хранить или послать заказное письмо

могут и уволить, смотря какое предприятие и руководство...

телеграмму отбейте и текст храните