Предложили уволиться

Здравствуйте! Ситуация следующая. Год назад работодатель в устной форме предложил не оформлять мне декрет по больничному листу и отпуск по уходу за ребенком, а работать дома до 8-ми месячного возраста ребенка, а потом выйти на работу, гарантируя мне ежемесячно зарплату по черной. Соответственно официально по табелю я работала весь год, с 8-ми часовым графиком работы.

После исполнения ребенку 8 месяцев, я вышла на работу, где и работаю по настоящее время. Работодателя не устраивает, что приходиться часто отпрашиваться в поликлинику с ребенком, хотя я пишу эти дни в счет отпуска. И предложили уволиться по собственному желанию,и искать себе работу, на что я не согласилась. Были намеки, что основания они всегда могут найти.

P.S. Я мать-одиночка и у работодателя на данный момент нет подписанного со мной трудового договора и должностной инструкции (они его по-видимому потеряли). Хотя, я подписывала трудовой договор при трудоустройстве на работу, 2-й экземпляр трудового договора мне не был выдан на руки.

У меня вопрос: Могут ли меня уволить, найдя какие-нибудь основания, как они мне об этом сказали? И гарантирует ли статус матери-одиночки?

И могу ли я написать заявление по уходу за ребенком до 3-х лет, если я не была в декрете?