Поездки с ребенком

Девочки, объясните мне на мой вопрос, пожалуйста:

когда мы получим гринкарту, то это будет наш основной документ, по которому мы можем въезжать в США без виз.

В Украину, да и в другие страны мы будем ездить по украинским загранпаспортам.

А вот как будет с такой ситуацией: если я приеду в Украину с ребенком (без мужа), то не будет ли у нас проблем при пересечении границы?

Есть ли в США такие разрешения на вывоз ребенка одним из родителей, как это у нас делается?

И не потребуют ли наши разрешение на вывоз ребенка с Украины (когда мы будем возвращаться в США)?

P.S. Позвонила нотариусу. Сказали, что они делают доверенности на многоразовые поездки. Стоит это удовольствие меньше 20 долларов. На год. Возможно, упросим на более приличный срок. Так что всё возможно и всё решается.