Как обратиться к психиатру в поликлинику не по месту жительства, если в нашей такого специалиста нет

Так по идее в поликлинике своей вам и должны разъяснить или направление дать в другую, раз у вас вакансия висит.

В регистратуре узнайте в поликлинике по месту жительства.