Это не сухие графики и цифры, в которых иногда невозможно разобраться. Это понятные каждому наглядные изображения основных законов математики - и многое становится ясным.
Смотреть интересно даже тем, кто ничего не понял.
1. Как нарисовать эллипс:
2. Как работает треугольник Паскаля (на вершине и по бокам - единицы, каждое число равно сумме чисел, расположенных над ним):
3. Как быстро перемножить двучлен:
4. Как понять логарифмы:
5. Как не запутаться, проводя транспозицию матрицы:
6. Наглядно о том, что «пифагоровы штаны во все стороны равны»:
7. Почему сумма внешних углов многоугольника всегда равна 360 градусам:
8. Как на самом деле выглядит число π:
9. Если длина дуги окружности равна по длине ее радиусу, получившийся угол равен одному радиану:
10. Визуализация синуса (красным) и косинуса (синим) угла:
11. То же самое, но еще проще:
12. То же самое и треугольники:
13. И еще немного тригонометрии:
14. Кривые тангенса:
15. Если развернуть картинку, получается еще понятнее:
16. Как перевести функцию из декартовой в полярную систему координат:
17. Как нарисовать параболу:
18. Сумма Римана - примерная площадь под кривой:
19. Как нарисовать гиперболу:
20. Если перевести это в 3D, получится гиперболоид. Это все -прямые линии, хоть и сложно в это поверить:
В школе мы несколько лет подряд прилежно изучаем геометрию. Но не зря ли мы тратим время? Чем может помочь геометрия в жизни? Измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только? Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.
Вешаем зеркало
Вы решили повесить в прихожей зеркало. Тут же возникает вопрос: какой минимальной высоты должно быть зеркало, чтобы человек среднего роста мог видеть себя в нём целиком? И ещё: имеет ли при этом значение размер помещения, где будет висеть зеркало?
Решение. Предмет и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала. Построим в нём изображение человека (рис. 1): АВ - человек, А1В1 - его изображение, точка С - глаз, DE - зеркало. Из рисунка видно, что минимальная высота зеркала приблизительно равна половине роста человека, считая от уровня глаз. При этом высота Е нижнего края зеркала от пола должна быть вдвое меньше расстояния от пола до глаз. Легко понять, что, на каком бы расстоянии от такого зеркала ни находился человек, он сможет увидеть себя в нём с головы до ног, значит, размер помещения значения не имеет.
Завариваем чай
Перед вами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости (рис. 2). В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше?
Решение. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере (S = d2).
Выдерживаем прямые углы
Если вы решили склеить коробку, сделать шкатулку или выложить плитку, важно, чтобы все детали были точными прямоугольниками или квадратами. В противном случае всё пойдёт наперекосяк. Как проверить, имеет ли деталь нужную «геометрию»?
Решение. Чтобы проверить, у всех ли деталей, с которыми вы работаете, прямые углы и одинаковые линейные размеры, можно использовать строи-тельный угольник (рис. 3), а можно применить знания по геометрии. Убедитесь в том, что противоположные стороны четырёхугольника равны и при этом диагонали тоже имеют одинаковую длину. Как вы и сами знаете, сделать это можно с помощью линейки.
Но вот вопрос: обязательно ли проверять и стороны и диагонали? Геометрия утверждает, что да! Например, на рис. 4 диагонали в четырёхугольнике слева равны, но очевидно, что его углы совсем не прямые. А в четырёхугольнике справа противоположные стороны равны, но это тоже не прямоугольник.
Для проверки прямоугольности геометрия ещё советует убедиться в равенстве всех четырёх отрезков, на которые разбиваются диагонали в точке их пересечения.
Строим прямой угол на земле
Известен старинный способ постро-ения прямого угла на поверхности земли. Его использовали ещё древние египтяне. Они строили прямой угол с помощью обычной верёвки, на которой через равные расстояния завязаны тринадцать узелков. Чтобы отрезки на верёвке были одинаковые, узелки завязывали вокруг колышков, вбитых в землю на равном расстоянии друг от друга. В чём состоит этот «верёвочный» способ?
Решение. В древности при закладке храма такую верёвку с узелками использовали для определения направлений его стен. Концы верёвки на месте крайних узелков связывали, а затем натягивали её на три колышка так, как показано на рис. 5. Стороны при этом имели соотношение 3:4:5. В таком треугольнике один из углов получается прямым. Впоследствии этот факт был доказан в теореме Пифагора. Поэтому первых геометров называли ещё «натягивателями верёвок».
Нужно отметить, что таким способом построения прямого угла на местности пользуются и сегодня, например при закладке фундамента небольшого строения.
Проверяем перпендикулярность стен
Как проверить, перпендикулярны ли друг другу соседние стены в комнате, воспользовавшись верёвкой с узелками из предыдущей задачи?
Решение. Если предположить, что стены в комнате вертикальны, а пол горизонтален, то проверку проводят так. От точки на полу в углу между стенами откладывают отрезки длиной 3 и 4 единицы (рис. 6). Если стены перпендикулярны, то расстояние между концами отрезков будет равно 5 единицам, так как построенный тре-угольник со сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный.
Отмеряем нужный объём
Часто в рецептуре того или иного блюда требуется взять четверть (или половину) стакана жидкости, муки либо какого-либо другого продукта. Как отмерить такой объём с наибольшей точностью, не прибегая к дополнительным измерительным средствам?
Решение. Воспользуемся стаканом цилиндрической формы - это важно для точности измерений. Чтобы отмерить четверть стакана жидкости, надо из наполненного стакана вылить столько, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла половину дна (рис. 7). Она займёт ровно четверть объёма стакана-цилиндра. Аналогично поступаем, если надо отмерить половину стакана. Наклоняем стакан так, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла всё дно (рис. 8).
А можно ли геометрическим способом узнать объём бутылки? Конечно! Для этого надо заполнить бутылку водой чуть меньше чем наполовину (рис. 9, слева) и измерить объём воды, умножив площадь дна бутылки на высоту налитой в неё воды (напомним, что объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту). Затем нужно перевернуть бутылку горлышком вниз так, чтобы вода не вытекла, и измерить объём верхней цилиндрической части бутылки, оставшейся пустой (рис. 9, справа). Полный объём бутылки равен сумме найденных объёмов. Для точности можно учесть толщину стенок бутылки.
Укрепляем калитку
Прямоугольная калитка (рис. 10, слева) со временем расшатывается и становится похожей на параллело-грамм. Этого можно избежать, прибив к ней ещё одну планку. Только надо знать, как это сделать.
Решение. Выбор такого положения планки, как показано на рис. 10, справа, основан на свойстве жёсткости треугольника. Оно гласит: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. Планка и есть гипотенуза такого треугольника.
Выбираем табурет
Если вы решили предыдущую задачу, то без труда определите, на какой табурет (рис. 11) можно сесть без риска оказаться на полу.
Решение. Безопасный табурет изображён на правой картинке, так как его сиденье и ножки образуют треугольник.
Исправляем ошибку кроя
Предположим, вам нужно вырезать для аппликации два разносторонних треугольника из цветной бумаги - «левый» и «правый». Вы случайно вырезали их одинаковыми - оба «левые». Можно ли, не используя новый кусок бумаги, исправить ошибку?
Решение. Для исправления ошибки вы можете разрезать один из треугольников, например так, как показано на рис. 12, а затем сложить из него нужный треугольник.
Находим середину
Как без всяких измерений найти середину негнущегося прута, доски или металлического стержня?
Решение. Можно отмерить размеры стержня на шнуре, затем сложить его пополам и отложить полученную длину. А можно воспользоваться геометрическим построением середины отрезка с помощью циркуля и линейки, если, конечно, размеры позволяют это сделать.
Ещё более рациональное решение даёт физика. Середину однородного стержня легко найти, используя понятие центра тяжести (рис. 13).
и как все хорошее оно скоро закончится. Кто -то устал от жары, некоторым не хватило солнца. Если коротко о НАШЕМ лете - все планы полетели к чорту, но это и замечательно.
Андрюха научился плавать, я попробовала вейк и мне очень и очень понравилось. Первый поход с палатками, первая рыбалка, первый ремонт телефона. Куча планов на следующее лето и уйма незавершенных дел. Мася приедет в понедельник и жизнь опять помчится вскачь. Кто бы дал мне волшебного пендаля и я буду тогда совсем счастлива.
Комплекс упражнений: 1. Попеременное сгибание и разгибание стопы сидя. 2. Верчение стоп. 3. Так называемые качели. Попеременно ребенок поднимается на пальцах и опускается на пятки. 4. Ходьба только на пальцах. 5. Положите на пол гимнастическую палку. Ходьба по ней очень полезна. 6. Полуприседания на пальцах. 7. Приседание на гимнастической палке. 8. А это упражнение будет напоминать ребенку зиму. 1-3 минуты пускай он ходит на пальцах, как на лыжах. 9. Для гимнастики потребуются и два мяча. Маленький очень полезно 1-3 минуты качать пальцами ног. На большой (так называемый медицинбол) ребенок должен стать и немного побалансировать. А потом пусть попробует сделать, не сходя с мяча, несколько приседаний. 10. Подскоки на пальцах. 11. Купите гимнастический обруч. Пусть ребенок научится катать его пальцами ног. 12. Поднимание разных предметов пальцами ног. 13. В исходном положении сидя с выпрямленными ногами: колени и пятки соединены, правая стопа сильно разогнута; подвести передний отдел левой стопы под подошву правой, затем повторить упражнение, поменяв ноги. 14. Погладить внутренним краем и подошвенной поверхностью правой стопы левую голень, повторить, поменяв ноги. 15. В исходном положении — сидя на стуле: сгибать пальцы стоп. 16. Приведение стоп внутрь. 17. Кружение стопами внутрь. 18. Обеими стопами захватить и приподнять мяч (волейбольный или набивной). 19. Пальцами ног захватывать и приподнимать карандаш. 20. Пальцами ног захватывать и приподнимать губку. 21. Пальцами ног подтягивать тонкий коврик. 22. В исходном положении: стоя на носках, стопы параллельно. Перейти на наружный край стопы и вернуться в исходное положение. 23. Ходьба босиком по песку (для песка можно приспособить ящик размером полметра на метр) или коврику из поролона (или с большим ворсом), согнув пальцы и опираясь на наружный край стопы. 24. Ходьба по скошенной поверхности с опорой на наружный край стопы. 25. Ходьба по бревну боком.
Есть и упражнения при плоскостопии, не требующие специального детского спортивного оборудования, но лечебный эффект их огромен. Используйте для этого погожий летний день. Прежде всего, пусть ребенок ходит как можно больше босиком. Во-вторых, не бойтесь, если после теплого дождика ребенок немного помесит грязь и побегает по лужам. И еще одно замечание. Не обязательно выполнять все упражнения на одном занятии. Начинать тренировку можно с пяти-шести упражнений, а через 10 -15 дней постепенно добавлять по одному упражнению.
Чтобы узнать, есть ли у вашего ребенка плоскостопие, попросите его походить босиком по полу в разных направлениях, чтобы его ноги во всех положениях были вам хорошо видны. Особое внимание следует обратить на внутренние края стопы и степень ее уплотненности. Есть и другой способ: кусочком ваты покрасьте ребенку ступни ног, а затем поставьте его на чистый лист бумаги. Полученный отпечаток остается сравнить с изображением нормальной стопы. С помощью таких отпечатков вы сможете проследить и за эффективностью лечебных процедур или упражнений против плоскостопия. При этом не стоит забывать, что ставить ребенку до 4 лет диагноз "плоскостопие" преждевременно. У малышей на ножках есть особая жировая подушка, и если сделать отпечаток такой стопы, то можно увидеть как бы уплощение, которое на самом деле не является таковым. Плоскостопие — это приобретенное или врожденное уплощение поперечного и реже продольного сводов стопы. Известно три его разновидности: паралитическое, травматическое и статическое плоскостопие. Паралитическое наблюдается при полиомиелите, травматическое — после перелома лодыжек или костей стопы. Наиболее распространенный вид плоскостопия — статическое: оно возникает в результате перегрузки стопы, осложненной непрочностью соединительной ткани. Оно возникает у детей, потому что их мышцы еще слабы и часто не выдерживают нагрузки. Главная сила, которая поддерживает свод стопы на нормальной высоте, — мышцы-супинаторы. Если эти мышцы плохо работают, свод стопы опускается, кости стопы и голени смещаются. В результате стопа удлиняется и расширяется в средней части, а пятка отклоняется наружу. Врожденное плоскостопие наблюдается редко. Гораздо чаще оно приобретается с возрастом, возникает, если ребенок после года жизни еще ходит в пинетках. С целью по возможности предотвратить его развитие, врачи советуют подклеивать к пинеткам каблучки толщиной в один слой кожи. Такая обувь укрепляет мышцы стопы, формирует правильную осанку. Если плоскостопие не выявлено еще в раннем детстве, вылечить этот недуг практически невозможно. Его можно только до определенной степени укротить, заставить не оказывать слишком большого влияния на повседневную жизнь. При врожденном плоскостопии используется массаж, а в особо сложных случаях — фиксация гипсовыми повязками. При приобретенном главное внимание следует уделять ортопедической обуви и специальным гимнастическим упражнениям против плоскостопия. Делать их ребенок может под присмотром родителей. Разучить же необходимый комплекс физических упражнений против плоскостопия поможет педиатр.
Комплекс упражнений: 1. Попеременное сгибание и разгибание стопы сидя. 2. Верчение стоп. 3. Так называемые качели. Попеременно ребенок поднимается на пальцах и опускается на пятки. 4. Ходьба только на пальцах. 5. Положите на пол гимнастическую палку. Ходьба по ней очень полезна. 6. Полуприседания на пальцах. 7. Приседание на гимнастической палке. 8. А это упражнение будет напоминать ребенку зиму. 1-3 минуты пускай он ходит на пальцах, как на лыжах. 9. Для гимнастики потребуются и два мяча. Маленький очень полезно 1-3 минуты качать пальцами ног. На большой (так называемый медицинбол) ребенок должен стать и немного побалансировать. А потом пусть попробует сделать, не сходя с мяча, несколько приседаний. 10. Подскоки на пальцах. 11. Купите гимнастический обруч. Пусть ребенок научится катать его пальцами ног. 12. Поднимание разных предметов пальцами ног. 13. В исходном положении сидя с выпрямленными ногами: колени и пятки соединены, правая стопа сильно разогнута; подвести передний отдел левой стопы под подошву правой, затем повторить упражнение, поменяв ноги. 14. Погладить внутренним краем и подошвенной поверхностью правой стопы левую голень, повторить, поменяв ноги. 15. В исходном положении — сидя на стуле: сгибать пальцы стоп. 16. Приведение стоп внутрь. 17. Кружение стопами внутрь. 18. Обеими стопами захватить и приподнять мяч (волейбольный или набивной). 19. Пальцами ног захватывать и приподнимать карандаш. 20. Пальцами ног захватывать и приподнимать губку. 21. Пальцами ног подтягивать тонкий коврик. 22. В исходном положении: стоя на носках, стопы параллельно. Перейти на наружный край стопы и вернуться в исходное положение. 23. Ходьба босиком по песку (для песка можно приспособить ящик размером полметра на метр) или коврику из поролона (или с большим ворсом), согнув пальцы и опираясь на наружный край стопы. 24. Ходьба по скошенной поверхности с опорой на наружный край стопы. 25. Ходьба по бревну боком.
Есть и упражнения при плоскостопии, не требующие специального детского спортивного оборудования, но лечебный эффект их огромен. Используйте для этого погожий летний день. Прежде всего, пусть ребенок ходит как можно больше босиком. Во-вторых, не бойтесь, если после теплого дождика ребенок немного помесит грязь и побегает по лужам. И еще одно замечание. Не обязательно выполнять все упражнения на одном занятии. Начинать тренировку можно с пяти-шести упражнений, а через 10 -15 дней постепенно добавлять по одному упражнению.
Чтобы узнать, есть ли у вашего ребенка плоскостопие, попросите его походить босиком по полу в разных направлениях, чтобы его ноги во всех положениях были вам хорошо видны. Особое внимание следует обратить на внутренние края стопы и степень ее уплотненности. Есть и другой способ: кусочком ваты покрасьте ребенку ступни ног, а затем поставьте его на чистый лист бумаги. Полученный отпечаток остается сравнить с изображением нормальной стопы. С помощью таких отпечатков вы сможете проследить и за эффективностью лечебных процедур или упражнений против плоскостопия. При этом не стоит забывать, что ставить ребенку до 4 лет диагноз "плоскостопие" преждевременно. У малышей на ножках есть особая жировая подушка, и если сделать отпечаток такой стопы, то можно увидеть как бы уплощение, которое на самом деле не является таковым. Плоскостопие — это приобретенное или врожденное уплощение поперечного и реже продольного сводов стопы. Известно три его разновидности: паралитическое, травматическое и статическое плоскостопие. Паралитическое наблюдается при полиомиелите, травматическое — после перелома лодыжек или костей стопы. Наиболее распространенный вид плоскостопия — статическое: оно возникает в результате перегрузки стопы, осложненной непрочностью соединительной ткани. Оно возникает у детей, потому что их мышцы еще слабы и часто не выдерживают нагрузки. Главная сила, которая поддерживает свод стопы на нормальной высоте, — мышцы-супинаторы. Если эти мышцы плохо работают, свод стопы опускается, кости стопы и голени смещаются. В результате стопа удлиняется и расширяется в средней части, а пятка отклоняется наружу. Врожденное плоскостопие наблюдается редко. Гораздо чаще оно приобретается с возрастом, возникает, если ребенок после года жизни еще ходит в пинетках. С целью по возможности предотвратить его развитие, врачи советуют подклеивать к пинеткам каблучки толщиной в один слой кожи. Такая обувь укрепляет мышцы стопы, формирует правильную осанку. Если плоскостопие не выявлено еще в раннем детстве, вылечить этот недуг практически невозможно. Его можно только до определенной степени укротить, заставить не оказывать слишком большого влияния на повседневную жизнь. При врожденном плоскостопии используется массаж, а в особо сложных случаях — фиксация гипсовыми повязками. При приобретенном главное внимание следует уделять ортопедической обуви и специальным гимнастическим упражнениям против плоскостопия. Делать их ребенок может под присмотром родителей. Разучить же необходимый комплекс физических упражнений против плоскостопия поможет педиатр.
4. Как понять логарифмы:
d
